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写这篇 blog 文章主要是因为我感到自己正在逐渐脱离物理初学者的阶段, 是时候对自己的学习方法做一个总结了. 这篇文章可以为理科的初学者们提供一些参考.

本文中所有指人的第三人称代词皆用他而不区分性别.

所有我在现实中遇到过的例子都会在引用块中呈现.

受众

理科

理科这个概念起源于中国的文理分科制度, 用于与文科对立. 你可以将本文所说的理科理解为科学, 包括形式科学 (如数学和计算机科学), 自然科学 (如物理学和化学), 社会科学 (如经济学和政治科学) 等. 不用科学一词主要是因为中文语境下科学一般指自然科学, 甚至不包括数学.

所有的理科都有一些共同的特点, 这导致很多学习方法对各种不同的理科都适用. 但是, 考虑到我本人是物理专业, 对其他领域涉猎有限, 并不能保证本文中介绍的学习方法对所有的理科都适用. 实际上, 不同的理科都有属于它们自己的特点, 比如特别的方法论和一些核心思想. 你在阅读本文的时候需要在心中留意自己专业的特点.

初学阶段

我们需要界定什么叫做初学阶段. 这是一个很模糊的概念. 我个人倾向于将本科专业课程设定为初学阶段, 因为这是你最早专业化地接触这个学科的方式. 中小学课程中的学科知识更偏向于通识和应试, 因此不能算作 (真正的专业意义上的) 学习. 另外, 为学科竞赛 (包括中学生的竞赛) 学习的人不算初学者, 因为竞赛意味着竞争, 其强度不是初学者应当面对的.

这个阶段有很多特点:

  • 有非常系统的知识体系. 你可以将这个专业领域划分为多个细分领域, 每个细分领域内又有比较固定的学习顺序. 各个细分领域之间并没有固定的学习顺序, 但是不同细分领域内的知识可以 “相互解锁”.
  • 你遇到的几乎所有的学术问题 (作业, 考试等, 不包括 project 之类) 都并没有本质上的复杂性. 大多数问题都能在一天内解决.
  • 学习资源非常丰富. 你可以找到大量教材. 因为文献充足, Wikipedia 上一般也有比较完善的词条. 因为学的人多, Stack Exchange 上一般也有人问你会遇到的问题, 问了之后也一般都有人能回答.
  • 大多数知识都是 “可记忆的”. 当然, 理论上来说任何知识, 只要你肯背, 都是可记忆的, 但是这里我所说的可记忆是指理解意义上的记忆: 长期上, 如果你曾经理解过一个知识, 那么你在很久以后仍然可以理解它; 短期上, 如果你理解了一个知识, 那么你很可能可以在不去专门背诵的情况下记住它.
  • 你学习到的知识基本上都是别人告诉你的, 而不是你自己创造或发现的.

这些特点看起来是在说这个阶段的学习是非常容易的 (虽然一定程度上也确实如此), 但是并不是所有人都能顺利地度过这个阶段. 或许你可以将其归因于这部分人不够聪明, 但其实我认为主要还是经验和方法上的欠缺 (当然, 肯定有一小部分人是真的不够聪明, 但是这部分人的比例很小, 因为世界上的人都是基本上差不多聪明的, 非常笨和非常聪明的人的比例是极小的). 我帮过很多同学解决学习上遇到的问题, 同时发现了很多不同的学习方法上的问题.

这引出了我想要用这篇文章来总结我自己的学习方法的目的: 为这些初学者提供一些参考. 不过, 这并不是说我所说的方法就不适用于其他阶段的学习, 只是在那之后的你应当已经有了足够的经验, 可以找到最适合自己的学习方法.

理论与实践的矛盾

所有讲学习方法的文章都有一个共同的问题: 实际上它并没有什么作用. 其实我也能预想得到读我的文章多半也不会有什么用 (毕竟即使是由教育界或者其他特定行业的专业人士写的关于学习方法的文章也多半没有用). 这样的文章就如同告诉你如何将大象放进冰箱一样, 道理你都懂, 但是你还是无法实践.

有两件事情是很难的: 一是将自己的经验转化为能写成文字的理论, 二是将别人用文字写成的理论转化为自己的经验. 经过多年的经验, 我或许已经将一些实际上并不平凡的过程当做了理所应当的事, 而从理论的表述中忽略, 而且这一过程是在无意识中发生的, 我也不知道我到底忽略了什么. 它有可能是很关键的东西, 有可能是我自己的学习方法的核心, 但是我却不知道. 而你在阅读文章的时候, 一眼扫过一串文字, 可能以为是一些你本来就知道的废话, 但其实它表达的意思并不完全是你想象的意思, 或者说你对某些表达的理解与作者想要表达的真正意思不完全一致. 这一过程也是在无意识中发生的, 即使你读得非常仔细也很难避免.

我指出这两个困难并不是想要引出解决这些矛盾的方法. 实际上并没有什么有效的方法能解决这些矛盾. 我指出它只是为了提醒作者和读者双方这个矛盾的存在性, 在写作和阅读时留个心眼.

抽象

我认为, 贯彻所有理科学习的最核心的思想是抽象. 抽象既是形容词, 又是动词 (抽象化). 抽象化一个事物的过程, 就是抓住这个事物的所有特征中与我们所考虑的问题有关的那些, 而舍弃其他的. 抽象这个词给人的感觉仿佛是难以理解的近义词, 但是实际上正相反: 人类善于理解抽象的事物. 人类总是试图去总结他们观测到的事物和现象之间的联系, 发现事物的共同点, 并从中抽象出更本质的规律. 没有经过抽象的事物, 人类就无法理解它们, 因为它们实在过于复杂, 有太多冗余的细节. 实际上, 你很有可能并没有意识到这一点, 因为你早就已经在认知事物的过程中习惯了抽象, 而无法意识到它.

抽象化可以使理论一般化. 我举一个简单的例子. 假设我们现在有一个皮球, 我们想要估算它的体积, 于是我们开发了一套理论来计算它的体积. 但是, 现在这个理论是针对皮球的, 而不针对其他的物体, 比如铅球. 皮球有非常多的参量: 弹性, 重量, 位置, 颜色, 等等. 这些参量对于另一个物体—比如某个铅球—来说都是完全不同的, 原先的理论多半是不适用于铅球的. 然而, 如果我们一开始就将皮球抽象化为球体, 舍弃所有除了半径以外的参量, 而我们最后发现任何球体的体积都可以通过它的半径来计算, 那么我们的理论将适用于任何可以抽象化为球体的物体, 比如任何铅球.

数学中的抽象代数 (或者直接就说代数也可以) 是另一个极好的例子—从它的名字就可以看出来. 只要满足某些运算性质的数学对象就可以构成某种结构, 我们并不关心怎样的底层实现才使它们具有这样的性质, 这可以使得我们的理论能适用于非常多不同的对象, 只要它们都满足这些性质.

你可能觉得我说的这些都是废话, 你本来就知道当我们的问题是估算体积时皮球可以被抽象化为球体, 但是实际上当你在现实生活中遇到一个问题时你往往无法发现这些抽象的可能性. 有的时候你的思维已经完全绑定在了一个固有的事物上, 根本没有想象到它实际上可以被进一步抽象化.

曾经有人问我为什么进动 (讲人话就是角动量 L\mathbf L 在转) 中有 L˙=Ω×L\dot{\mathbf L}=\boldsymbol\Omega\times\mathbf L, 我说这就是圆周运动的公式. 他问我原来的公式是什么, 我说 r˙=Ω×r\dot{\mathbf r}=\boldsymbol\Omega\times\mathbf r. 他说这里的 L\mathbf L 是角动量, 不是位置, 我说我知道, 但是它们都是圆周运动. 他还是不明白.

实际上这就是一个很好的缺乏抽象思维的例子. 你学到的圆周运动的公式实际上并不只能描述现实中位移意义上的圆周运动, 任何会随时间变化的向量的圆周运动都可以用这个公式来描述, 比如说角动量. 如果你理解不了, 说明你的大脑已经被固定在了一个具体的场景, 你手上的工具只会被用来解决这个场景里的问题, 你意识不到实际上这个场景还可以被抽象到更一般的场景里, 你的工具实际上还可以解决更一般的问题.

我见过有人很抗拒将化学反应方程式写成 ∑iνiAi=0\sum_i\nu_iA_i=0, 指出这种形式仅仅只是一个看上去比较 fancy 的写法, 而并不能带来任何实质性的好处.

这就是一个抗拒抽象思维的例子. 这个反应方程式是对任何单相化学反应的抽象, 对这个反应进行研究得到的理论可以适用于任何单相化学反应. 具体是哪些物质在参与反应, 生成了什么物质, 配平系数具体是多少, 这些都被抽象化了. 抽象到仅剩这些信息的时候你仍然可以获得质量作用定律, 化学亲和势, Le Chatelier 原理等等. 但是如果你不抽象, 那么你永远都不知道在这个反应中成立的东西是否在另一个反应中也成立.

曾经有人问我一个问题 (背景是他正在学统计学), 他是这样问的: “如果一个人三次都放同一首歌, 那 variance 是 var⁡(3X)\operatorname{var}(3X) 吗?” 我问他 XX 是什么, 他说 XX 就是选一首歌. 我来来回回问了无数次, 解释为什么我看不懂他的问题, 最后扯了 20min 才明白原来 XX 是指歌的时间长度, 而他的问题是: 随机选一首歌, 然后将它重复三次, 所需要的总时长的方差是多少.

这就是一个错误地抽象的例子. 实际上在这个案例中 “歌” 是一个无意义的概念, 包括 “长度” 也是. 唯一有意义的概念是 “某个随机变量 X∼f(X)X\sim f(X)”, 而 “重复一首歌三遍” 可以被抽象化为 3X3X.

统计学中有大量的抽象 (实际上统计学的所有应用题都是抽象). 我见过不少正在学统计学的人问问题, 有的时候他们问的问题都非常具体 (确切地说就是直接贴了整道题), 比如说 “Kat 调查了 Mar 的苹果店里的苹果” 之类的, 然后问题背景说了一大堆, 我看着都觉得密密麻麻的. 其实应该抽象一下, 比如说 “从两个 population 各抽取一些 sample, 如何证明这两个 population 的 mean 不同” 就是一个很好的抽象. 还有的时候他们抽象了一下自己的问题, 但是抽象出来是错的, 保留了一些无意义的概念的同时略去了一些有意义的概念, 比如说 “如何比较两个苹果店的 mean 是否一样” 之类的, 这里 “苹果店” 就是一个无意义的概念 (甚至还是错误的, 因为一个苹果店没有 mean), 而 “比较” 就是一个被过度抽象的概念 (略去了一些与问题相关的细节: 仅仅是比较两个实数中哪个大? 检验两个分布的 mean 是否相等? 检验是否其中一个大于另一个?).

学习的 pace

我觉得 pace 与速度是并不完全等同的概念, 我个人认为 pace 更多地是指你每天要花费多少精力去学习, 而速度则强调你实际上学到了多少知识. 学习速度是会被学习方法显著影响的, 而且 (长期来看基本上) 越快越好 (当然, 这里指的是在机会成本保持不变的情况下越快越好), 但是学习的 pace 并不是这样. 实际上, 学习的 pace 是学习方法的一部分, 你要找到适合你自己的 pace, 而不是越快越好.

最佳的 sweet point 与偏好, 身体素质, 学习目标, 环境等因素有关, 而与天赋的关系不大. 我个人喜欢的 pace 是比较轻松随意的, 想学习就学习, 不想学习就不学习, 并没有一个非常严谨的规划. 我认为这样的 pace 可以让我让我长期保持比较高效率的学习. 大多数人的偏好中, 一个好的 pace 就是一个能让人感到轻松随意的 pace. 也有的人喜欢稍微给自己一些压力, 这当然也是很好的. 然而, 不幸的是, 对于非常不喜欢学习的人来说, 如果按照自己的偏好来设定 pace, 那么他们的学习速度恐怕无法帮助他们达到他们的学习目标. 比如说这个大学毕业要求一个学生至少要修 120 学分, 但是有的人特别不爱学习, 他们但凡修一个学分都轻松不起来 (这种现象当然是存在的, 只不过这种情况下一般你需要质问自己你学习的真正目的是什么: 是不是可以选择不上大学呢? 由此其实可以引伸出一些相关的社会问题, 并不是我现在所要讨论的). 这种情况就是我所说的, 学习目标和环境也会影响你最佳的 pace. 不过, 学习目标也有好坏之分, 在后面我将会讨论.

复习与记忆

说到这里, 我发现有一个非常普遍的现象: 人们会在考试前高强度复习. 这个现象不仅普遍, 而且还是被认为是理所当然的 (甚至被认为是一种很好的学习方法). 然而, 我认为对于理科初学者来说, 这是一个误区. 首先需要指出, 中文词复习与英文词 review 在字面意义上是不同的: 中文的复习的字面意思是再次学, 而英文的 review 的字面意思是再次看. 再次学更加接近我所认为的误区. 另外, 我需要澄清一下, 再次学是建立在已经学过的基础上的. 如果你之前没有学过 (比如说在并不掌握相关知识的情况下不去上课), 只在快要考试的时候去高强度学习, 那么这不能被称为再次学, 这就是普通的学 (其实这种临时抱佛脚的行为我并不完全反对, 因为这可能就是对你来说最佳的 pace).

我之前说过, 在理科初学阶段大多数知识都是可记忆的: 如果你曾经理解了, 那么你仍然能理解. 从这个意义上来说, 你不需要再次学, 你只需要再次看就可以了, 因为你只需要强化一下记忆, 而不需要重新去理解. 然而, 现实中人们的高强度复习往往是真的在再次学: 他们其实之前就并没有理解某些知识, 而尝试通过考前复习的方式去理解它们. 这就是我所说的误区. 如果你第一遍学的时候没有理解, 这就说明你第一遍学习花费的时间都被浪费了, 这是很可惜的 (有那学第一遍的时间还不如用来看剧或者打游戏呢). 如果上课学不会, 那你就别去上课了 (不要觉得浪费学费, 因为那是沉没成本), 靠自学; 如果要记出勤 (我很反对教授/学校的这个做法) 的话, 就上课的时候自学, 总之不要浪费时间.

很多人复习的理由都是要强化一下记忆. 不过, 我已经解释过了, 这并不需要高强度的复习 (也就是再次学). 对于那些不能靠理解记住的东西, 一般考试都会允许你使用 cheetsheet, 你只需要写一下你背不出来的东西就可以了. 如果考试不允许 cheetsheet, 那考卷上肯定是会给你提供所有你可能背不出来的信息的. 如果考试不允许 cheetsheet, 而且考卷上不给你深刻理解了但是还是死活背不出来的东西, 而且还真的考了, 那这就不是一个好的考试, 你要怪这个考试.

曾经某个微分方程课的课友问我一道题的做法, 我给他一步步讲了, 但是有一步他愣是不理解怎么来的. 我们俩扯了半天, 我才发现原来是因为他不会将 y2y^2 对 xx 求导 (其中 yy 是 xx 的函数). 我跟他说这个叫链式法则, 他说: “链式法则啊, 听上去是好久远的东西, 高中的时候学的, 早就快忘光了.”

这种就是典型的因为不理解所以忘了的情况. 链式法则是典型的只要理解了就不可能忘记的东西. 我甚至可以原谅你记不住 dtan⁡x/dx=sec⁡2x\mathrm d\tan x/\mathrm dx=\sec^2x (好吧, 其实这也不是那么容易原谅), 但是我绝对不会原谅你记不住链式法则. 类似地, 你可以背不出和差化积, 但你绝不能不知道频率相近的振动叠加会产生拍现象; 你可以背不出 Fourier 级数展开的公式, 但你绝不能不知道 eikx\mathrm e^{\mathrm ikx} 构成一族完备正交基. 这样的例子有很多, 核心的思想就是公式不要背, 但你不能不理解.

做题 (作业与考试)

除了强化记忆之外, 很多人复习的另一个理由是为了提高熟练度, 而他们复习的方式就是做题. 你可以说做题是学习的一部分 (开个玩笑: 比如说当你妈问你在不在学习的时候, 如果你在做题, 你也可以说你是在学习), 但是严格来说做题不算学习. 或者说, 纯粹的做题是不会让你学习到东西的, 而仅仅是能让你提高运用你已经学到的知识的熟练度. 所以考前做题并不能严格地被称为复习. 实际上, 做题是一种很好的锻炼自己能力的方式, 它是无论是否在考前都适合进行的活动.

作业和考试, 则是被赋予了特别意义的做题, 它们的意义在于你做题的好坏会影响到你的成绩. 虽然通过作业和考试是最合理的评价学生学习成果的方式, 但是它们引入了一个学习中非常根本性的矛盾: 它们很容易扭曲学生的学习动机, 而被扭曲之后的这种动机叫做应试.

应试是非常不健康的学习动机: 它会导致很多负面情绪 (源于压力), 以及导致一些错误的学习方法. 应试学习倾向于对做题技巧的研究, 而不是对知识本身的理解, 这会几乎必然地导致遗忘 (我非常怀疑前面那位忘记链式法则的同学就是受了应试学习的荼毒). 不过, 其实这还跟考卷设计有关, 如果考分与理解程度强相关, 那么应试学习也就不会产生这么严重的问题, 但可惜的是设计一份好考卷是非常困难的.

在中小学, 应试学习是难以避免的. 然而, 所幸的是, 在大学有一种非常简单的避免应试学习的方法: 忘记考试. 这个方法, 在中小学无法起效, 以至于人们似乎经常会忘记这个十分显然的方法, 即使是在离开中小学之后仍然没有想到用这个方法来避免应试学习.

“忘记考试” 并不是一件说起来简单做起来难的事情. 它说起来简单, 做起来也简单: 你只需要不去理睬 “考试” 这件事的存在就可以了. 有这么几句被说烂了的话: 上学是为了学习, 而不是为了考试; 考试是为了检验学习成果, 而不是学习的目的. 这几句话并非说得不对, 而且确实说到了点子上, 但大家实在听得太多了, 以至于这些话已经显得空洞而毫无意义了. 如果你是一个陷入在考试中的学生, 那么你最好重新审视一下这些话的意义, 不能被来自中小学的思维惯性左右.

我们学校附近有家饭店每周打折. 有个朋友约我去那里吃一顿, 但是我连着两周都突然有事, 于是我们拖了两周, 结果就拖到了考试周. 他说: “得下学期吃了.” 我说: “下周不还上学吗?” 他说: “我周一二三都考试.” 我说: “考试就不吃饭了?”

其实这是一件生活中的小事, 跟学习并没有什么紧密的关系, 但是从这个小事件中其实可以投射出他的学习方法存在的问题: 他就是犯了应试学习的问题 (当然这么说感觉好像是在扣帽子, 其实不是, 因为我还是比较了解他的, 我只是拿了一个比较典型的小事来说明问题).

直觉

你可能觉得我站着说话不腰疼, 说: “我没你那么聪明, 不像你, 把考试当喝水一样.” 这话其实只说对了一半: 我确实把考试当喝水一样, 但这跟聪明的关系不大. 这就涉及到一个话题: 理解知识. 实际上这是非常复杂而且深刻的话题, 同是它也是学习方法中最重要的核心. 接下来的几节我都将围绕这个话题来展开.

以我的经验, 理解知识的本质是将知识变成直觉的一部分. 你可以细细品味一下这句话是不是对的. 我认为这句话巧妙地诠释了知识是如何被理解的, 而且我甚至很难用更详细的语言来解释这句话, 但是我还是想尝试着展开一点来说. 当你获得了一个知识的时候, 你不一定立刻就理解了, 因为你的内心仍然还有一些小小的抗拒, 还是没能转过这个弯. 但是会有那么一瞬间, 或许你可以将它称为顿悟, 你突然就发现这个知识是多么简单, 多么显然, 多么自然, 突然这个知识就进入到你的世界观的一部分了, 进入到你的直觉中了, 让你感觉被击中了一般, 什么都明白了. 当你有了这种感觉的时候, 你就理解了这个知识. 当然, 并不是说理解就一定要有顿悟的过程, 你可以刚看到这个知识的时候就理解了, 而且这种情况其实更常见.

于是, 我们可以说学习是对直觉的后天塑造. 关于这一点, 杨振宁的短文我的学习与研究经历中有一段话是这样说的:

我没有念过高中物理学, 为了参加那次入学考试, 借了一本高中物理教科书, 闭门自修了几个星期, 发现原来物理是很适合我研读的学科, 所以在联大我就选择了物理系. 记得非常清楚的是, 那次我在教科书中读到, 圆周运动加速的方向是向心的, 而不是沿着切线方向的. 最初我觉得这与我的直觉感受不同, 仔细考虑了一两天以后才了解, 原来速度是一个向量, 它不仅有大小而且是有方向的.

这个故事给了我很大的启发: 每个人在每个时刻都有一些直觉, 这些直觉多半是正确的, 可是也有一些需要修正, 需要加入一些新的观念, 变成新的较正确的直觉. 我从而了解到: 一方面直觉非常重要, 可是另一方面又要能及时吸取新的观念修正自己的直觉.

我直接抄了这段话, 因为我觉得这段话说得相当精彩: 它诠释出了直觉在学习过程中所扮演的角色. 直觉既是学习的工具, 又是学习的主体. 这就好像一个编程 AI 通过写程序来修正自己, 从而使得自己更擅长写程序.

想象

人类是擅长想象的生物, 而且我们经常去想象. 人类运用直觉的方式, 往往也是通过想象. 比如说, 我问你房子是不是方的, 你就会想象一个房子; 如果它是方的, 那么你就会说是的. 不过, 房子是一个你见过的事物, 不一定需要你去想象. 再比如说, 我让你解释一下 SN2 反应, 你就会想象一个 nucleophile 从屁股慢慢把一个原子核吸过来, 同时另一侧一个 leaving group 掉出来了, 虽然你完全没有亲眼见过这个过程.

然而想象的局限性非常明显: 它过于依赖人类的感官了. 很多人宣称自己是 visual learner. 很遗憾的是, 如果你也是这样的话, 不要以此为傲. 在理科中, 通过视觉 (或者其他任何感官) 来理解知识在很多情况下是很难的, 这是因为感官接收到的信息都是非常具体而且受限于你已经观察过的现实世界的事物的, 但理科中的所研究的对象往往是非常抽象, 不对应于任何现实中能直接观测到的事物的.

这里其实有一个与专业相关的问题. 对于自然科学和社会科学, 初学者阶段中依赖于感官的想象其实也是有用的, 这是因为这些学科研究的对象就是现实中的事物. 但是, 在数学和计算机科学中, 依赖于感官的想象就不那么有用了, 甚至有可能会误导你.

最好的想象, 并不是基于感官的想象, 而是基于概念的想象. 当你想象一个事物的时候, 你并不是要想着去用眼睛看它, 而是想象它的存在, 用心灵以一种直接而抽象的方式去体会它的概念. 比如说, 假如我让你想象一个集合, 如果你想象了一堆或圆或方的物体, 或者是任何具体的数字, 或者是任何对你来说有视觉形象的东西, 那你就是在依赖于感官地进行想象. 而我在想象一个集合的时候, 我不会看到任何东西, 而是在脑中浮现出了概念性的 “一坨东西”. 同样地, 想象一个可数集的时候我就会想到一坨有编号的东西, 想象一个函数的时候我就会想到两坨东西之间的对应关系, 等等. 不同的想象能给我带来不同的感觉, 一些很难用语言描述的感觉, 这些感觉就是来自于学习中对直觉的积累. 为了让你理解这种感觉, 我稍微举一个例子, 如果你学过一点代数和泛函分析的话. 我现在说一串概念, 然后每说一个概念的时候你就去想象一下它的样子: 模, 自由模, 向量空间, TVS, Hausdorff TVS, Banach 空间, Hilbert 空间, Euclid 空间. 这一串概念中每一个概念都是后一个的推广, 所以你每次推进到下一个概念的时候你想象到的东西就会被附加上更多的结构, 而额外的结构会改变你对这个概念的感觉. 如果你知道我在说什么的话, 你会感到一开始的概念会给你非常强的 “代数感”, 而越到后面 “代数感” 就会越弱, 而 “几何感” 就会越强.

有的时候, 在我思考问题的时候我不会动笔, 而是将我所研究的对象全部放在脑内, 想象出它的存在, 然后在脑内思考. 当我思考出了一个点子的时候, 我才会将它记录下来; 如果我太早就动了笔, 我的抽象思维会一定程度上被视觉信息干扰, 变得过于具象, 反而不再清晰了.

人们总是津津乐道 “相对论” “量子力学” “四维空间”, 使它们成为著名的难以想象的东西, 但那只是因为人们的想象力总是受到自己感官的限制, 他们想象出的东西总是受限于他们观察到过的信息带给他们的经验. 当你懂得了如何跳脱于感官之外概念性地想象事物的时候, 你就会发现这些东西其实并不难想象.

自然语言

另一种运用直觉的方式是自然语言. 语言本身就是一种对概念的抽象, 而且它有一个巨大的优势: 人类对它非常熟悉. 因为自然语言是人类在交流的过程中自发产生的, 语言的逻辑总是非常符合人认知事物的逻辑. 于是, 你可以通过组织语言来让你理解抽象的概念, 通过对自己说话的方式来让自己理解知识. 这意味着语言不仅是交流的工具, 还是思考的工具. 有的时候人们常把这样学习的人称为 verbal learner, 但是说 verbal learner 的时候往往会给人一种擅长听说读写, 擅长文科, 然而缺乏对逻辑和公式的理解的刻板印象, 所以我不喜欢用这个称呼.

说一件我小时候的事. 二年级的时候学到了加法和乘法的交换律, 结合律, 分配律. 所有的运算律中唯一没有理解的是乘法分配律. 多年后的一天, 在初中的数学课上, 老师在教我们解方程时说了一句 “一个 xx 加上两个 xx 得到三个 xx”, 我就顿悟了. 从此以后我能够直观地理解乘法分配律了.

那是我第一次体会到什么叫做语言是思考的工具. 当然, 我相信大家小时候基本上都能很容易理解乘法分配律, 看我这个例子可能看不出来什么. 不过, 有一个非常典型的大家肯定都会学到, 但是很多人一上来没法理解的东西: 极限的 ε\varepsilon-δ\delta 定义. 这应该是很多人第一次在数学中接触到自己比较难理解的东西了, 巧的是这个东西我也是在初中的时候理解的 (我初中的时候看同济的高等数学看到的, 后来上下册都看完了).

初三的时候我去平和 (某国际高中) 面试, 面试官说: “你说学了微积分, 请你解释一下什么是极限.” 我当时说: “f(x)f(x) 可以任意地接近 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x), 当 xx 足够接近 x0x_0 的时候.”

虽然后来没被录取, 但是我很自信肯定不是在这个问题上栽了跟头: 我的回答相当完美. 这就是用极其简炼的语言解释了极限的 ε\varepsilon-δ\delta 定义, 而这句话就是在我第一次读到 ε\varepsilon-δ\delta 定义的时候, 自然而然地用自然语言诠释它时所想到的, 它使我做到了一下子就理解了极限的概念.

理科学习中有大量的运用自然语言来理解概念的例子. 有时教科书上会直接将用于理解它的句子告诉你, 但有的时候不会. 不过, 这实际上是 instructor 的工作: 本质上 instructor 的工作就是用自然语言将教科书中的内容给学生诠释一遍. 不依赖教科书和 instructor, 依靠自己去诠释, 也是很有用的.

这里还有一个值得探讨的点. 考虑到并不是所有的人都是以英语为母语的, 而学习资源以英语为主, 那么对于非英语母语者, 应该用英语来思考还是应该用母语来思考, 还是应该混合多种语言来思考呢? 其实都可以, 视你的英语水平, 你的阅读材料的语言, 以及你的个人偏好而定.

记法和符号

第三种运用直觉的方式是记法和符号. 这是一种介于想象和自然语言之间的一种方式. 这里所说的记法和符号是指专业领域内的记法和符号, 而不是自然语言的. 它不是一种自然语言, 而是一种类似于行业黑话的东西, 我暂且将它称为符号语言.

符号语言与自然语言有多个区别:

  • 符号语言多用于读和写, 自然语言多用于听和说. 换句话说, 符号语言是 non-oral 的. 这个关键性的区别导致了你不能通过符号语言来与自己 “交流”.
  • 符号语言是专家发明的, 自然语言是由社会中的所有人类互相交流时自发产生而塑造的.
  • 符号语言的能指和所指之间的对应关系相比较自然语言更加固定, 因此表意更清晰.
  • 符号语言是非线性书写的, 自然语言是线性书写的. 这里线性指的是将字符排列在一条线上, 知道化学中的 line notation 的同学应该都知道是什么意思.

符号语言的专业性, 清晰性, 非线性性使得其表意能力极大地超越自然语言 (在专业领域中). 利用符号语言, 你可以以极少的笔墨以较为精确的方式表达你的想法. 又, 相比较想象, 符号语言的可记录性又使得它能解放大脑的一部分内存, 使你能够同时思考更多的东西. 然而, 符号语言有一个极大的弊端: 它是 non-oral 的. 这意味着你无法用一种如同说话一般的方式去阅读它或表达它, 也就是说你不能用人类最自然的方式去使用它 (如果你会说话, 那么书写系统总是远不如口头语言自然, 比如说在你读这篇文章的时候一定会在心里默默地念出来).

通过符号语言运用直觉, 是靠观察符号语言与自己过去的经验在结构上的相似点. 也就是说, 透过符号表达, 你可以更加容易地发现不同的事物可以被抽象为同一事物, 从而迁移你已有的经验. 比如说看见 x2+xy+y2x^2+xy+y^2, 初中的时候你可能会想余弦定理, 也有可能想到把它除以 x2x^2 可以变出来一个关于 y/xy/x 的二次函数; 高中的时候你可能会想椭圆, 可能会想三角换元, 可能会想轮换对称; 大学的时候你可能会想这个二次型可以正规对角化, 或者别的跟你专业有关的东西. 这些就是你透过符号语言的含义所引申出的直觉.

这种直觉是比较有技巧性的, 而且比较依赖训练.

技巧

说到透过符号和记法运用直觉来使用技巧, 这就来到了我最不擅长东西了. 或者说, 这是所有人都不擅长的东西, 因为对技巧的掌握是需要大量的训练的, 只有天赋异禀的人才能不加训练地学会技巧. 如果你可以, 那么你就是天赋异禀的, 恭喜你!

技巧并不是运用直觉的方式, 而是运用直觉的结果. 它类似于一种条件反射: 你尝试在训练的过程中在事物 (研究对象, 题型, 符号语言的形式等) 和技巧之间建立联系, 试图在每次遇到能用某个技巧的时候, 总能想到并正确地运用它. 这种联系的建立是需要训练的, 所以它是困难的.

所幸的是, 在初学阶段, 除了数学和计算机科学以外的理科的技巧含量是极少的; 而数学和计算机科学的初学阶段用到的技巧, 不能说极少, 但是也完全不多.

初学阶段学到的几乎所有技巧都会在课堂或者教科书中以例题的方式呈现, 而其余的技巧需要靠你在做题的过程中自行发现, 作为一种对技巧的训练. 但是你要记住, 初学阶段你做的所有的题都是 toy problem, 所以做题要运用技巧, 那么它一定被精巧地设计为要运用某些技巧 (即出题人的意图), 而且这个技巧基本上肯定是在课堂或者教科书中被教过的. 这就意味着我们可以在初学阶段规避因为技巧不熟练而产生的短板, 而将学习的重心放在对知识的理解, 而不是对技巧的训练上.

这里会有一些跟专业有关的区别. 其实如果你不是数学专业或计算机科学专业的话, 在初学阶段你可以完全忽视对技巧的训练. 数学的各个领域都会比较看中技巧, 而计算机科学则只有算法和软件基础等领域会比较看中技巧, 其他领域不会. 不过, 就算你是数学或计算机专业的, 一般考试也不会在技巧方面过于为难你 (学生分数太差对学校也没有好处).

总之你完全不用担心因为想不出技巧而导致自己无法胜任学习. 你只需要能熟练地用那些在课堂和教材中已经呈现过的少量技巧即可.

自学

接下来可以介绍一些不那么 “虚幻” 的方面 (只与脑内的思维有关的学习方法的方面), 而谈论一些更加实际的东西, 也就是学习的外在形式, 也就是自学与课堂学习的对立.

首先我们需要承认一点: 课堂学习的效率可以是非常高的. 虽然有个人差异, 但是一般来说课堂学习的效率的上限在自学的效率的上限的两倍以上. 然而, 遗憾的是你每周花在课堂学习上的时间是很少的 (我们大学里一门 4 学分的课一般一周只有 2.5 小时的 lecture), 而且还有另一个非常重要的因素: 几乎所有的课堂都是无法让学生达到 (或者接近) 课堂学习效率的上限的 (这其实很正常, 毕竟首先参与同一个课堂的学生偏爱不同的课堂形式, 而且更重要地, instructor 的能力也是有限的). 这些因素导致了一个后果: 课堂学习的实际效率比自学低.

当然, 这里比较的是只靠课堂学习和只靠自学的情况. 有的时候, 你需要结合两者才能达到最高的效率. 不过, 实际上你要相信自己, 初学阶段自学的速度是非常快的, 你可以很容易地赶超课堂学习的进度. 至于考试, 那对你来说就是小菜一碟了.

阅读材料

在初学阶段, 阅读材料主要指的是教材. 如果你是为了学习学校的某门课程而自学, 可以直接用这门课用的教材来自学.

如果你不是为了学习某门课程 (比如超前学习, 或者兴趣驱动), 那么你会面临教材选择的问题. 虽然初学阶段阅读材料很丰富, 但实际上常见的被学校广泛采用的教材并不特别多, 你可以按照你自己的喜好来选择. 对于初学阶段的教材, 网上总会有各种对比评价, 你参考后挑选一本即可. 我个人最看中的主要有两个方面, 一是涉及知识的广度, 二是它有多 formal (你可以理解为越严谨, 越数学的书越 formal). 这两项都不是越高越好, 实际上在我学习的过程中我的偏好也一直在变.

有的时候一本书会对你来说太难或者太简单. 一般来说教科书都会预设你会了某些前置知识 (比如说基本上所有的物理书都预设了你会线性代数和微积分), 但所谓的 “前置知识” 其实只是一个建议, 学习的时候未必一定要按照知识依赖图的拓扑排序来. 有的时候你就算没学过前置知识, 一本书也可以很简单; 你就算学过了前置知识, 一本书也可以很难. 实际上, 真正判定一本书是否适合你自学的标准是这样的: 如果书中的任何知识都可以在你花了一些时间之后可以且才可以理解, 那么这本书的难度就是适合自学的. 这个判据对书的难度并没有做出多少限制, 因为 “一些时间” 是一个很模糊的概念, 根据你自己所能接受的学习速度来决定.

虽然说了一小段关于挑选教材的事情, 但其实你要知道教材的选择并不很重要. 有些人特别看中这个, 但其实有名的教材都不会差, 而一般好和特别好的教材对你的学习也不会有多少区别明显的影响. 关键是你要真的能认真去读, 把它学完就行了.

笔记

课堂学习中笔记一般是抄板书以及记一些 instructor 说的比较重要的话, 但自学的笔记显然不能是直接抄书 (那你不得抄死?). 我记笔记的方式是将书中的关键结论用数学证明或者解题的形式呈现一遍, 初次之外再记录一些 facts 或者 corollaries. 这样记的主要好处是以后 refer 的时候比较方便查找.

学习的时候不能只盯着一本书看. 有时如果你觉得某个地方理解有困难, 你可以上 Wikipedia 和 Stack Exchange 看看, 还可以找别的书对照着看. 理解了之后, 记得将你的理解写在笔记里, 这有助于记忆, 以及在将来忘了的时候可以 refer 一下 (还有就是如果将来有人问你一个东西怎么理解, 你就可以拿出你的笔记, 跟他说: “这个东西我以前研究过…”).

教科书里一般都有习题. 我会在笔记里面做习题, 一般都是挑着做. 有的书的习题质量都很高, 我就会全做; 但是如果题太多了, 我也会挑着做. 做习题的选择是比较自由的.

关于笔记的形式, 我会比较推荐电子手写, 这样既易于管理又方便. 用 LaTeX\LaTeX 写笔记也可以, 但是我觉得有一点浪费时间, 如果你 LaTeX\LaTeX 写得没那么熟练的话; 用纸质笔记也可以 (我以前就是用纸质的, 因为以前在中学上课的时候自学, 而课上不让用电脑; 但我后悔了), 但我觉得比较难管理, refer 的时候比较难找到以前写的东西在哪里, 还有就是每次搬家的时候都要抱一堆笔记本去新家非常麻烦.

写文章与 Feynman 技巧

我经常写文章. 你现在所看到的 blog 就是由我写的文章组成的. 大多数我写的文章有两种: 一种是我突然理解了一个知识, 于是写了篇文章记录下来 (类似于笔记); 另一种是我找到了一个 idea, 然后去研究, 得到了一些成果, 于是写了篇文章记录下来 (这实际上是一种超于初学阶段的操作, 因为理科的初学阶段一般不要求你输出知识, 但你仍然可以像我一样做, 因为这是很好的锻炼). 前者本质上是一种类似于 Feynman 技巧的学习方法 (以教代学).

介绍 Feynman 技巧的文章有很多, 你随便 Google 一下就能找到一堆, 我就不细说了. Feynman 技巧能够起效的原理, 在我看来, 是它逼迫你用自然语言表达你的理解, 从而构筑你能通过自然语言运用的直觉. 但是 Feynman 技巧有一个关键性的缺点, 就是它对你的朋友圈要求比较高: 一个会津津有味地听你大谈理科知识的朋友是很难得的, 更难得的是一个会津津有味地听你大谈理科知识的恋爱对象, 更难得的是一个不仅会津津有味地听你大谈理科知识还会让你津津有味地听他大谈理科知识的恋爱对象 (这也太浪漫了). 所以, 在朋友圈不够好的情况下, 写文章就是一种非常好的运用 Feynman 技巧的方式.

写文章与记笔记的不同之处在于, 笔记是给自己看的, 但文章是给别人看的. 这意味着你要在写文章时在心中预设文章的可读性, 它也能逼迫你用能被人理解的自然语言来表达你的理解.

忘记考试

如果你领会了我前面提到的所有内容并且愿意花时间去实践, 很快你的知识水平就会超过学校的课程进度 (因为理科初学阶段的课程进度都是很慢的). 达到这个境界之后, 忘记考试就会是一个非常自然的做法: 考试完全不值得你去花时间准备. 当然, 你还是有可能会没学到一些课程里有的知识, 但你不用担心这一点: 做作业 (这个应该是必须要做的, 一般大学课程不会允许你不做作业) 的时候你肯定会遇到, 到时候顺便学一下就可以了.

生活与娱乐

关于生活与娱乐, 严格来说它们不算学习方法的一部分, 所以我只简短地说一下.

学生经常被灌输 “学生要干的事就是学习” 这样的观点, 但实际上学习是生活的一部分, 而不是生活的全部. 一个典型的学生生活, 除了衣食住行之外, 还包括学习, 兴趣爱好, 娱乐活动 (以及可能还有找对象谈恋爱). 后面这几项活动很可能是有交叉的, 但如果很不幸它们不交叉, 你也不必要求学习在这几项活动中占据绝对的优势.